弘博学习网——做国内一流在线教育学习平台

返回
顶部
当前位置: 首页 >> 考研资料

同济大学数学系高等数学第7版课后习题和考研真题

[] [] [] 发布人:弘博学习网   发布日期:2021-05-24 20:09   共 25 人浏览过




习题1-1 映射与函数【课后答案】

1求下列函数的自然定义域:

(1);(2)y=1/(1-x2);

(3);(4)

(5);(6)y=tan(x+1);

(7)y=arcsin(x-3);(8)

(9)y=ln(x+1);(10)y=e1/x

解:(1)3x+2≥0⇒x≥-2/3,故其定义域为[-2/3,+∞)。

(2)1-x2≠0⇒x≠±1,故其定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。

(3)x≠0且1-x2≥0⇒x≠0且|x|≤1,故其定义域为[-1,0)∪(0,1]。

(4)4-x2>0⇒|x|<2,故其定义域为(-2,2)。

(5)x≥0,故其定义域为[0,+∞)。

(6)x+1≠kπ+π/2(k∈Z),故其定义域为{x|x∈R且x≠(k+1/2)π-1,k∈Z}。

(7)|x-3|≤1⇒2≤x≤4,故其定义域为[2,4]。

(8)3-x≥0且x≠0,故其定义域为(-∞,0)∪(0,3]。

(9)x+1>0⇒x>-1,故其定义域为(-1,+∞)。

(10)x≠0,故其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。

2下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?为什么?

(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;

(2)f(x)=x,

(3)

(4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x。

解:(1)函数f(x)和g(x)不同,因其定义域不同。

(2)函数f(x)和g(x)不同,因其对应法则不同,

(3)函数f(x)和g(x)相同,因其定义域、对应法则均相同。

(4)函数f(x)和g(x)不同,因其定义域不同。

3设

求φ(π/6),φ(π/4),φ(-π/4),φ(-2),并作出函数y=φ(x)的图形。

解:

y=φ(x)的图形如图1-2-1所示。

图1-2-1

4试证下列函数在指定区间内的单调性:

(1)y=x/(1-x),(-∞,1);

(2)y=x+lnx,(0,+∞)。

证:(1)y=x/(1-x)=-1+1/(1-x),(-∞,1)。

设x1<x2<1,因为

所以f(x2)>f(x1),即f(x)在(-∞,1)内单调增加。

(2)设0<x1<x2,因为f(x2)-f(x1)=x2+lnx2-x1-lnx1=x2-x1+ln(x2/x1)>0,可得f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)内单调增加。

5设f(x)为定义在(-l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在(-l,0)内也单调增加。

证:设-l<x1<x2<0,则0<-x2<-x1<l,因为f(x)是奇函数,所以f(x2)-f(x1)=-f(-x2)+f(-x1),又因为f(x)在(0,1)内单调增加,所以f(-x1)-f(-x2)>0,从而f(x2)>f(x1),即f(x)在(-l,0)内也单调增加。

6设下面所考虑的函数都是定义在区间(-l,l)上的。证明:

(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;

(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

证:(1)设f1(x),f2(x)均为偶函数,则f1(-x)=f1(x),f2(-x)=f2(x)。

令F(x)=f1(x)+f2(x),于是F(-x)=f1(-x)+f2(-x)=f1(x)+f2(x)=F(x),故F(x)为偶函数。

设g1(x),g2(x)均为奇函数,则g1(-x)=-g1(x),g2(-x)=-g2(x),令G(x)=g1(x)+g2(x),于是G(-x)=g1(-x)+g2(-x)=-g1(x)-g2(x)=-G(x),故G(x)为奇函数。

(2)设f1(x),f2(x)均为偶函数,则f1(-x)=f1(x),f2(-x)=f2(x),令F(x)=f1(x)·f2(x),于是F(-x)=f1(-x)·f2(-x)=f1(x)f2(x)=F(x),故F(x)为偶函数。

设g1(x),g2(x)均为奇函数,则g1(-x)=-g1(x),g2(-x)=-g2(x),令G(x)=g1(x)·g2(x),于是G(-x)=g1(-x)·g2(-x)=[-g1(x)][-g2(x)]=g1(x)g2(x)=G(x),

故G(x)为偶函数。

设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,则f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),令H(x)=f(x)·g(x),于是H(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)·g(x)=-H(x),故H(x)为奇函数。

7下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非偶函数又非奇函数?

(1)y=x2(1-x2);(2)y=3x2-x3

(3)y=(1-x2)/(1+x2);(4)y=x(x-1)(x+1);

(5)y=sinx-cosx+1;(6)y=(ax+ax)/2。

解:(1)因为f(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x2(1-x2)=f(x),所以f(x)为偶函数。

(2)因为f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3,f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以f(x)既非偶函数又非奇函数。

(3)因为f(-x)=(1-x(-x)2)/(1+(-x)2)=(1-x2)/(1+x2)=f(x),所以f(x)为偶函数。

(4)因为f(-x)=(-x)[(-x)-1][(-x)+1]=-x(x-1)(x+1)=-f(x),所以f(x)为奇函数。

(5)因为f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1,f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以f(x)既非偶函数又非奇函数。

(6)因为f(-x)=(ax+ax)/2=f(x),所以f(x)为偶函数。



内容来源 同济大学数学系《高等数学》笔记和课后答案

扫码阅读





8下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期:

(1)y=cos(x-2);

(2)y=cos4x;

(3)y=1+sinπx;

(4)y=xcosx;

(5)y=sin2x。

解:(1)是周期函数,周期l=2π。

(2)是周期函数,周期l=π/2。

(3)是周期函数,周期l=2。

(4)不是周期函数。

(5)是周期函数,周期l=π。

9求下列函数的反函数:

(1);(2)y=(1-x)/(1+x);

(3)y=(ax+b)/(cx+d)(ad-bc≠0);(4)y=2sin3x(-π/6≤x≤π/6);

(5)y=1+ln(x+2);(6)y=2x(2x+1)。

解:(1)由解得x=y3-1,即反函数为y=x3-1。

(2)由y=(1-x)/(1+x)解得x=(1-y)/(1+y),即反函数为y=(1-x)/(1+x)。

(3)由y=(ax+b)/(cx+d)解得x=(-dy+b)/(cy-a),即反函数为y=(-dx+b)/(cx-a)。

(4)由y=2sin3x(-π/6≤x≤π/6)解得x=arcsin(y/2)/3,即反函数为y=arcsin(x/2)/3。

(5)由y=1+ln(x+2)解得x=ey1-2,即反函数为y=ex1-2。

(6)由y=2x(2x+1)解得,即反函数为

10设函数f(x)在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。

解:设f(x)在X上有界,则存在M>0,使得|f(x)|≤M,x∈X,所以-M≤f(x)≤M,x∈X,即f(x)在X上有上界M,下界-M。

反之,设f(x)在X上有上界K1,下界K2,即K2≤f(x)≤K1,x∈X;取M=max{|K1|,|K2|},则有|f(x)|≤M,x∈X,即f(x)在X上有界。

11在下列各题中,求由所给函数构成的复合函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:

(1)y=u2,u=sinx,x1=π/6,x2=π/3;

(2)y=sinu,u=2x,x1=π/8,x2=π/4;

(3),u=1+x2,x1=1,x2=2;

(4)y=eu,u=x2,x1=0,x2=1;

(5)y=u2,u=ex,x1=1,x2=-1。

解:(1)y=sin2x,y1=1/4,y2=3/4。

(2)y=sin2x,,y2=1。

(3)

(4)

(5)y=e2x,y1=e2,y2=e2

12设f(x)的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域:

(1)f(x2);

(2)f(sinx);

(3)f(x+a)(a>0);

(4)f(x+a)+f(x-a)(a>0)。

……



 完整版链接: /Ebook/987092.html


【推荐】弘博学习网“同济大学《高等数学》(第7版)笔记和课后习题答案”

  • 页数:675
  • 推荐指数:
  • 适用:网页/电脑/平板/手机




【弘博学习网】本站共有123225种资料,全网下载超61842604次

所有的资料都提供了免费试看,如果觉得满意后再购买,系统会自动发激活码。

2007-2020  All rights reserved. 京ICP备09054306号 京公网安备110108008113号 新出发(京)批字第直110028号

弘博学习网官方学习网站,为全国各类考试和专业课学习提供高清视频课程、题库、文库、教辅图书、多媒体电子等学习产品及资料。网站旗下包含考研考博

英语经济证券金融保险管理外贸财会统计精算师心理教育法学医学新闻传播编辑出版工程计算机

国家职业资格农学公务员秘书汉语小语种学科竞赛理工地理体育历史哲学等40个专业子网站

营业执照 · 中关村高新技术企业 · 增值电信业务经营许可证 · 出版经营许可证 ·网络文化经营许可证


圣才电子书(武汉)有限公司 提供技术支持和信息存储空间
联系我们
微信号:有问题加老师VX【售前售后】