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同济大学数学系高等数学第7版课后习题和考研真题

[] [] [] 发布人:弘博学习网   发布日期:2021-05-24 20:08   共 20 人浏览过



同济大学数学系高等数学第七版考点归纳

第1章 函数与极限【复习笔记】

一、映射与函数

1函数

(1)函数的性质(见表1-1)

表1-1 函数的性质

(2)反函数与复合函数

①反函数的特点

a.函数f和反函数f1的单调性一致。

b.f的图像和f1的图像关于直线y=x对称。

②复合函数

g与f能构成复合函数f°g的条件是:f的定义域与g的值域的交集不能为空集。

(3)函数的运算

设函数f(x),g(x)的定义域为Df,Dg,且定义域有交集为D,则可定义这两个函数的下列运算

和(差)f±g:(f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D。

积f·g:(f·g)(x)=f(x)·g(x),x∈D。

商f/g:(f/g)(x)=f(x)/g(x),x∈D\{x|g(x)=0,x∈D}。

(4)初等函数

5类基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

二、数列的极限

1数列极限的定义

数列{xn}收敛于a⇔⇔∀ε>0,∃正整数N,当n>N时,有|xn-a|<ε。

数列{xn}是发散⇔不存在。

2收敛数列的性质

(1)唯一性

如果数列{xn}收敛,则它的极限唯一。

(2)有界性

如果数列{xn}收敛,则数列{xn}一定有界。

①有界数列:存在正数M,使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。

②无界数列:不存在正数M,使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。

(3)保号性

如果,且a>0(或a<0),则存在正整数N>0,当n>N时,都有xn>0(或xn<0)。

推论:如果数列{xn}从某项起有xn≥0(或xn≤0)且,则a≥0(或a≤0)。

(4)收敛数列与其子数列间的关系

①如果数列{xn}收敛于a,则它的任一子数列也收敛,且极限也是a。

②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,则数列{xn}是发散的。

③一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

三、函数的极限

1函数极限的定义

(1)函数f(x)极限的两种情形

①自变量x趋于有限值x0时函数的极限

只有都存在并且相等时,x→x0时极限存在。

②自变量x趋于无穷大时函数的极限

⇔∀ε>0,∃δ>0,当|x|>X时,有|f(x)-A|<ε。

2函数极限的性质

(1)唯一性

如果存在,则这极限唯一。

(2)局部有界性

如果,则存在常数M>0和δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)|≤M。

(3)局部保号性

①如果,且A>0(或A<0),则存在常数δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0)。

②如果,则存在着x0的某一去心邻域U°(x0),当x∈U°(x0)时,有|f(x)|>|A|/2。

③如果在x0的某去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),而且,则A≥0(或A≤0)。

(4)函数极限与数列极限的关系

如果极限存在,{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足:xn≠x0(n∈N),则相应的函数值数列{f(xn)}必收敛,且

四、无穷小与无穷大

1无穷小

,称f(x)是x→x0时的无穷小量。

2无穷大

(1)定义

,称f(x)是x→x0时的无穷大量。

(2)渐近线

设曲线y=f(x)

①斜渐近线y=kx+b

特别地,当k=0时,曲线有水平渐近线y=b。

②垂直渐近线

(或者左、右极限趋于无穷),则垂直渐近线为x=x0



内容来源 同济大学数学系《高等数学》笔记和课后答案

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3无穷大与无穷小之间的关系

在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则1/f(x)为无穷大。

五、极限运算法则

1极限运算法则相关定理

(1)定理1

两个无穷小的和是无穷小,有限个无穷小之和也是无穷小。

(2)定理2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

①推论1:常数与无穷小的乘积是无穷小。

②推论2:有限个无穷小的乘积是无穷小。

(3)定理3

如果limf(x)=A,limg(x)=B,则

①lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;

②lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B;

③若又有B≠0,则lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B

a.推论1:如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)]=climf(x);

b.推论2:如果存在,而n是正整数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n

(4)定理4

设有数列{xn}和{yn},,则

③当yn≠0(n=1,2,…)且B≠0时,

(5)定理5

如果φ(x)≥ψ(x),而limφ(x)=A,limψ(x)=B,则A≥B。

(6)定理6(复合函数的极限运算法则)

设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义,若,且存在δ0>0,当x∈U(x0,δ0)时,有g(x)≠u0,则

2x→x0时有理分式函数的极限

设多项式f(x)=a0xn+a1xn1+…+an,则

又设有理分式函数F(x)=P(x)/Q(x),其中P(x),Q(x)都是多项式,于是

如果Q(x0)≠0,则

注:若Q(x0)=0则关于商的极限的运算法则不能应用,那就需要特别考虑。

六、极限存在准则及两个重要极限

1极限存在准则

(1)夹逼准则

①夹逼准则1

如果数列{xn},{yn}及{zn}满足下列条件:

a.从某项起,即∃n0∈N,当n>n0时,有yn≤xn≤zn

b.,则数列{xn}的极限存在,且

②夹逼准则2

a.当x∈U°(x0,r)(或|x|>M)时,g(x)≤f(x)≤h(x);

b.,则存在,且等于A。

(2)单调有界准则

单调有界数列必有极限。

(3)左极限存在准则

设函数f(x)在点x0的某个左邻域内单调并且有界,则f(x)在x0的左极限f(x0)必定存在。

(4)柯西极限存在准则

数列{xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,存在正整数N,使得当m>N,n>N时,有|xn-xm|<ε。

2两个重要极限

3常见函数的极限

(1)

(2)

(3)(令t=arcsinx)。

(4)(令t=-x)。

(5)(sinx有界,1/x(x→∞)为无穷小),

(6),其中a0≠0,b0≠0,m和n为非负整数。

(7)幂指函数的极限

一般地,对于形如u(x)vx(u(x)>0,u(x)≠1)的函数(通常称为幂指函数),如果limu(x)=a>0,limv(x)=b,limu(x)vx=ab

注:这里三个lim都表示在同一自变量变化过程中的极限。

4有关sinx,x,tanx的不等式

sinx<x<tanx,∀x∈(-π/2,0)或(0,π/2)

七、无穷小的比较

1相关无穷小的定义(见表1-2)

表1-2 相关无穷小的定义

2定理

设α~α,β~β且lim(β/α)存在,则lim(β/α)=lim(β/α)。

3常用的等价无穷小

sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,1-cosx~x2/2(x→0),ln(1+x)~x(x→0),ex-1~x(x→0),(1+x)α-1~αx(x→0)

八、函数的连续性与间断点

……



 完整版链接: /Ebook/987092.html


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第1章 函数与极限

 1.1 复习笔记

 1.2 课后习题详解

 1.3 考研真题详解

第2章 导数与微分

 2.1 复习笔记

 2.2 课后习题详解

 2.3 考研真题详解

第3章 微分中值定理与导数的应用

 3.1 复习笔记

 3.2 课后习题详解

 3.3 考研真题详解

第4章 不定积分

 4.1 复习笔记

 4.2 课后习题详解

 4.3 考研真题详解

第5章 定积分

 5.1 复习笔记

 5.2 课后习题详解

 5.3 考研真题详解

第6章 定积分的应用

 6.1 复习笔记

 6.2 课后习题详解

 6.3 考研真题详解

第7章 微分方程

 7.1 复习笔记

 7.2 课后习题详解

 7.3 考研真题详解

第8章 向量代数与空间解析几何

 8.1 复习笔记

 8.2 课后习题详解

 8.3 考研真题详解

第9章 多元函数微分法及其应用

 9.1 复习笔记

 9.2 课后习题详解

 9.3 考研真题详解

第10章 重积分

 10.1 复习笔记

 10.2 课后习题详解

 10.3 考研真题详解

第11章 曲线积分与曲面积分

 11.1 复习笔记

 11.2 课后习题详解

 11.3 考研真题详解

第12章 无穷级数

 12.1 复习笔记

 12.2 课后习题详解

 12.3 考研真题详解


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